真知即所以为行,不行不足谓之知。

排列组合

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排列的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 A(n,m)表示。
计算公式:

 
此外规定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)…1,也就是6!=6x5x4x3x2x1 [1]
组合的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。
计算公式:

 

;C(n,m)=C(n,n-m)。(n≥m)

其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,…nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!×n2!×…×nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m)。
符号:
C-Combination 组合数 [2]
A-Arrangement 排列数(在旧教材为P-Permutation)
N-Number 元素的总个数
M- 参与选择的元素个数
!- Factorial阶乘

基本计数原理

⑴加法原理和分类计数法
⒈加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
⒉第一类办法的方法属于集合A1,第二类办法的方法属于集合A2,……,第n类办法的方法属于集合An,那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。
⒊分类的要求 :每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)。
⑵乘法原理和分步计数法
⒈ 乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
⒉合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同。
3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。

二项式定理

. [3]

通项公式:a_(i+1)=C(in)a^(n-i)b^i
二项式系数:C(in)杨辉三角:右图。两端是1,除1外的每个数是肩上两数之和。
系数性质:
⑴和首末两端等距离的系数相等;
⑵当二项式指数n是奇数时,中间两项最大且相等;

⑶当二项式指数n是偶数时,中间一项最大;
⑷二项式展开式中奇数项和偶数项总和相同,都是2^(n-1);
⑸二项式展开式中所有系数总和是2^n

组合数的奇偶

奇偶定义:对组合数C(n,k)(n>=k):将n,k分别化为二进制,若某二进制位对应的n为0,而k为1 ,则C(n,k)为偶数;否则为奇数。
下面是判定方法:
结论:
对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数,否则为偶数。
证明:
对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数,否则为偶数。
证明:
由C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1);
对应于杨辉三角
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
………………
可以验证前面几层及k = 0时满足结论,下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下,
C(n,k)满足结论。
1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数:
则有:(n-1)&k == k;
(n-1)&(k-1) == k-1;
由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位,下同)必然是不同的,所以n-1的最后一位必然是1
现假设n&k == k。
则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。
因为n-1的最后一位是1,则n的最后一位是0,所以n&k != k,与假设矛盾。
所以得n&k != k。
2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数:
则有:(n-1)&k != k;
(n-1)&(k-1) != k-1;
现假设n&k == k.
则对于k最后一位为1的情况:
此时n最后一位也为1,所以有(n-1)&(k-1) == k-1,与假设矛盾。
而对于k最后一位为0的情况:
则k的末尾必有一部分形如:10; 代表任意个0。
相应的,n对应的部分为:1{*}*; *代表0或1。
而若n对应的{*}*中只要有一个为1,则(n-1)&k == k成立,所以n对应部分也应该是10。
则相应的,k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立,与假设矛盾。
所以得n&k != k。
由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时,n&k != k。
3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数:
则有:(n-1)&k == k;
(n-1)&(k-1) != k-1;
显然,k的最后一位只能是0,否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。
所以k的末尾必有一部分形如:10;
相应的,n-1的对应部分为:1{*}*;
相应的,k-1的对应部分为:01;
则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.
所以n的对应部分也就为 :1{*}*; (不会因为进位变1为0)
所以 n&k = k。
4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数:
则有:(n-1)&k != k;
(n-1)&(k-1) == k-1;
分两种情况:
当k-1的最后一位为0时:
则k-1的末尾必有一部分形如:10;
相应的,k的对应部分为 : 11;
相应的,n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)
相应的,n的对应部分为 : 1{*}1;
所以n&k = k。
当k-1的最后一位为1时:
则k-1的末尾必有一部分形如:01; (前面的0可以是附加上去的)
相应的,k的对应部分为 : 10;
相应的,n-1的对应部分为 : 01; (若为11,则(n-1)&k == k)
相应的,n的对应部分为 : 10;
所以n&k = k。
由3),4)得出当C(n,k)为奇数时,n&k = k。
综上,结论得证。

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